第9章 9.25

(1)

$y = ux$

$y' = u + x\frac{du}{dx}$

(2)

$\int udx = \int \frac{2x}{1+x^2} dx = \log(1+x^2) + C$ （C は任意定数）

(3)

$x^2 + 3y^2 - 2xyy' = 0$

$y' - \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} = 0$ $\frac{y}{x} = u とおくと$ $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$ これから

$u + x\frac{du}{dx} - \frac{3}{2}u - \frac{1}{2u} = 0$ $x\frac{du}{dx} = \frac{1+u^2}{2u}$

$\int \frac{2u}{1+u^2} du = \int \frac{1}{x} dx$ $\log(1+u^2) = \log x + C_1$ $e^{C_1} = C とおくと$

$1 + u^2 = xC$ 元に戻して

$1 + \frac{y^2}{x^2} = Cx$ $x^2 + y^2 = Cx^3$ （C は任意定数）