第9章 9.18

(1)

曲線を$y=f_{(x)}$とおくと接線の方程式は

$y-y_0=f'_{(x_0)}(x-x_0)$

$x$軸との交点は $x = \frac{f'_{(x_0)} x_0 - y_0}{f'_{(x_0)}}$

MTは $|x-x_0|=\left|\frac{f'_{(x_0)} x_0 - y_0}{f'_{(x_0)}} - x_0\right|=\left|\frac{-y_0}{f'_{(x_0)}}\right|=a$

$af'_{(x_0)}=y_0$

$x_0, y_0$を$x, y$に書き換えて

$af'_{(x)}=y \quad a\frac{dy}{dx}=y$

$\int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{a}dx \quad \log y = \frac{x}{a}+C_1 \quad e^{C_1}=C$とおくと

$y=Ce^{\frac{x}{a}}$（$C$は任意定数）

(2)

法線の方程式は

$y-y_0=-\frac{1}{f'_{(x_0)}}(x-x_0) \quad x$軸との交点は

$x=f'_{(x_0)}y_0+x_0$

NMは $|x_0-x|=|x_0-f'_{(x_0)}y_0-x_0|=|-f'_{(x_0)}y_0|=a$

$x_0, y_0$を$x, y$に書き換えて

$f'_{(x)}y=a \quad \frac{dy}{dx}y=a$

$\int ydy=\int adx$

$\frac{1}{2}y^2=ax+C_1 \quad 2C_1=C$とおくと

$y^2=2ax+C$（$C$は任意定数）

(1)

から $\frac{|-y_0|}{|f'(x_0)|} = 2x_0$

$x_0, y_0$ を $x, y$ に書き換えて

$y = 2xy' = 2x\frac{dy}{dx}$

$\int\frac{1}{y}dy = \frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx \quad \log y = \frac{1}{2}(\log x + C_1) \quad \log\frac{y^2}{x} = C_1 \quad e^{C_1} = C \text{ とおくと}$

$\frac{y^2}{x} = C \quad y^2 = Cx \quad \text{（C \text{は任意定数}）}$

(4)

点Nの座標は(2)より $(yy'+x, 0)$

よって PNの長さは

$\sqrt{(x-(yy'+x))^2 + y^2} = \sqrt{y^2y'^2+y^2} = y\sqrt{y'^2+1}$

PMの長さは $y$ なので その比は

$\frac{y\sqrt{y'^2+1}}{y} = \sqrt{y'^2+1} = a \quad y'^2+1 = a^2 \quad y' = \pm\sqrt{a^2-1} \quad \frac{dy}{dx} = \pm\sqrt{a^2-1}$

$\int dy = \pm\int\sqrt{a^2-1}dx \quad y = \pm\sqrt{a^2-1} \cdot x + C \quad \text{（C \text{は任意定数}）}$