高専の数学解説

第9章 9.16

(1)

y′+y=xy21y2y′+1y=xy' + y = xy^2 \quad \frac{1}{y^2}y' + \frac{1}{y} = x

u=1yu = \frac{1}{y} とおくと dudx=−1y2dydx\frac{du}{dx} = -\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx} これから

−dudx+u=xdudx−u=−x-\frac{du}{dx} + u = x \quad \frac{du}{dx} - u = -x

P=−1,Q=−xP = -1, Q = -x とおくと ∫Pdx=−x\int Pdx = -x

u=ex{∫e−x(−x)dx+C}=ex{xe−x−∫e−xdx+C}=ex{xe−x+e−x+C}=x+1+Cex 元に戻してu = e^x \left\{ \int e^{-x}(-x)dx + C \right\} = e^x \left\{ xe^{-x} - \int e^{-x}dx + C \right\} = e^x \left\{ xe^{-x} + e^{-x} + C \right\} = x + 1 + Ce^x \text{ 元に戻して}

1y=x+1+Cex1=y(x+1+Cex)(Cは任意定数)\frac{1}{y} = x + 1 + Ce^x \quad 1 = y(x + 1 + Ce^x) \quad (C\text{は任意定数})

（別）

y′+y=xy2 であったとき 1y3y′+1y2=xy' + y = xy^2 \text{ であったとき } \frac{1}{y^3}y' + \frac{1}{y^2} = x

u=1y2u = \frac{1}{y^2} とおくと dudx=−2y3dydx\frac{du}{dx} = -\frac{2}{y^3}\frac{dy}{dx} これから

−12dudx+u=xdudx−2u=−2x-\frac{1}{2}\frac{du}{dx} + u = x \quad \frac{du}{dx} - 2u = -2x

P=−2,Q=−2P = -2, Q = -2 とおくと ∫Pdx=−2x\int Pdx = -2x これから

u=e2x{∫e−2x(−2x)dx+C}=e2x{xe−2x−∫e−2xdx+C}=e2x{xe−2x+12e−2x+C}=x+12+Ce2xu = e^{2x}\left\{\int e^{-2x}(-2x)dx + C\right\} = e^{2x}\{xe^{-2x} - \int e^{-2x}dx + C\} = e^{2x}\left\{xe^{-2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C\right\} = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}

元に戻して

1y2=x+12+Ce2x1=y2(x+12+Ce2x)2C=C と書き直して y2(Ce2x+2x+1)=2\frac{1}{y^2} = x + \frac{1}{2} + Ce^{2x} \quad 1 = y^2\left(x + \frac{1}{2} + Ce^{2x}\right) \quad 2C = C \text{ と書き直して } y^2(Ce^{2x} + 2x + 1) = 2

(2)

2xyy′−y2+x=0y′−12xy=−12y−12xyy' - y^2 + x = 0 \quad y' - \frac{1}{2x}y = -\frac{1}{2}y^{-1}

u=1y2=y2u = \frac{1}{y^2} = y^2 とおくと dydx=12ududx\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{du}{dx} これから

12u⋅dudx=12xu=−12u\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2x}\sqrt{u} = -\frac{1}{2}\sqrt{u}

dudx−1xu=−1\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}u = -1

P=−1xP = -\frac{1}{x}, Q=−1Q = -1 とおくと ∫Pdx=−log⁡x\int Pdx = -\log x これから

u=x[∫−1xdx+C]=x(−log⁡x+C)u = x\left[\int -\frac{1}{x}dx + C\right] = x(-\log x + C)

y2=x(C−log⁡x)(Cは任意定数)y^2 = x(C - \log x) \quad (C \text{は任意定数})

(3)

xy′+y=y2log⁡xxy' + y = y^2 \log x

y′+1xy=1xlog⁡x⋅y2y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}\log x \cdot y^2

u=1yu = \frac{1}{y} とおくと dudx=−1y2dydx\frac{du}{dx} = -\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx} これから

−dudx+1xu=1xlog⁡x-\frac{du}{dx} + \frac{1}{x}u = \frac{1}{x}\log x

dudx−1xu=−1xlog⁡x\frac{du}{dx} - \frac{1}{x}u = -\frac{1}{x}\log x

P=−1xP = -\frac{1}{x}, Q=−1xlog⁡xQ = -\frac{1}{x}\log x とおくと ∫Pdx=−log⁡x\int Pdx = -\log x これから

u=x[∫−1x2log⁡xdx+C]=x[−log⁡x⋅(−1x)−∫1x2dx+C]=x[log⁡xx+1x+C]=log⁡x+1+Cxu = x\left[\int -\frac{1}{x^2}\log x dx + C\right] = x\left[-\log x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - \int \frac{1}{x^2}dx + C\right] = x\left[\frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} + C\right] = \log x + 1 + Cx

元に戻して整理すると

1=y(log⁡x+1+Cx)(Cは任意定数)1 = y(\log x + 1 + Cx) \quad (C \text{は任意定数})

(4)

y′+y=y2(cos⁡x−sin⁡x)y' + y = y^2(\cos x - \sin x)

u=1yu = \frac{1}{y} とおくと dydx=−1u2dudx\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx} これから

−1u2dudx+1u=−1u2(cos⁡x−sin⁡x)-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx} + \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2}(\cos x - \sin x) \quad dudx−u=−(cos⁡x−sin⁡x)\frac{du}{dx} - u = -(\cos x - \sin x)

P=−1,Q=−(cos⁡x−sin⁡x)P = -1, Q = -(\cos x - \sin x) とおくと \quad ∫Pdx=−x\int Pdx = -x これから

u=ex{∫ex(−cos⁡x+sin⁡x)dx+C}u = e^x\{\int e^x(-\cos x + \sin x)dx + C\}

I=∫ex(−cos⁡x+sin⁡x)dxI = \int e^x(-\cos x + \sin x)dx とおくと

=−ex(−cos⁡x+sin⁡x)+∫ex(sin⁡x+cos⁡x)dx= -e^x(-\cos x + \sin x) + \int e^x(\sin x + \cos x)dx

=−ex(−cos⁡x+sin⁡x)−ex(sin⁡x+cos⁡x)+∫ex(cos⁡x−sin⁡x)dx=−ex(2sin⁡x)−I= -e^x(-\cos x + \sin x) - e^x(\sin x + \cos x) + \int e^x(\cos x - \sin x)dx = -e^x(2\sin x) - I

2I=−ex(2sin⁡x)2I = -e^x(2\sin x) \quad I=−exsin⁡xI = -e^x\sin x これから

u=ex(−exsin⁡x+C)u = e^x(-e^x\sin x + C) 元に戻して整理すると

1=y(Cex−exsin⁡x)1 = y(Ce^x - e^x\sin x) (C は任意定数)

解説: r31bn1z