第9章 9.11

(1)

$\cos x \cdot \sin y \, dy = \sin x \cdot \cos y \, dx$

$\int \frac{\sin y}{\cos y} dy = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$ 右辺において $\cos y = t$ 、左辺において $\cos x = k$ とおくと

$-\int \frac{1}{t} dt = -\int \frac{1}{k} dk \qquad \log t = \log k + C_1 \qquad e^{C_1} = C \text{ とおくと}$

$t = Ck$ 元に戻して

$\cos y = C \cos x \qquad (\text{C \text{は任意定数}})$

(2)

$x(y^2-1) + y(x^2-1)\frac{dy}{dx} = 0 \qquad x(y^2-1)dx + y(x^2-1)dy = 0$

$P = x(y^2-1)$、$Q = y(x^2-1)$ とおくと $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2xy$ よって完全微分系である

$\int P dx = \dfrac{1}{2}x^2(y^2-1) = g$ とすると $\frac{\partial g}{\partial y} = x^2 y$

$Q - \frac{\partial g}{\partial y} = yx^2 - y - yx^2 = -y \qquad \int \left( Q - \frac{\partial g}{\partial y} \right) dy = -\frac{1}{2}y^2$ これから

$\frac{1}{2}x^2(y^2-1) - \frac{1}{2}y^2 = C_1 \qquad 2C_1 = C \text{ とおくと}$

$x^2(y^2-1) - y^2 = C \qquad (\text{C \text{は任意定数}})$

(3)

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+y^2)x}{(1+x^2)y}$

$\int \frac{y}{1+y^2} dy = \int \frac{x}{1+x^2} dx \qquad \frac{1}{2}\log(1+y^2) = \frac{1}{2}\left( \log(1+x^2) + C_1 \right)$

$\log(1+y^2) = \log(1+x^2) + C_1 \qquad e^{C_1} = C \text{ とおくと}$

$1 + y^2 = C(1+x^2) \qquad (\text{C \text{は任意定数}})$

(4)

$y(x^2+1)\frac{dy}{dx}=1 \qquad y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2+1}$

$\int y\,dy=\int\frac{1}{x^2+1}\,dx \qquad \frac{1}{2}y^2=\tan^{-1}x+C_1 \qquad 2C_1=C\text{ とおくと}$

$y^2=2\tan^{-1}x+C \qquad (C\text{は任意定数})$

(5)

$\frac{2x}{1+x^2}dx+\frac{1+y^2}{y(1-y^2)}dy=0$

$-\int\frac{2x}{1+x^2}dx=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{2y}{1-y^2}\right)dy \qquad -\log(1+x^2)+C_1=\log y-\log(1-y^2) \qquad e^{C_1}=C\text{ とおくと}$

$C\frac{1}{1+x^2}=\frac{y}{1-y^2} \qquad y(1+x^2)=C(1-y^2) \qquad (C\text{は任意定数})$