高専の数学解説

第9章 9.8

(1)

y′−2y=exy'-2y=e^x

P=−2P=-2、Q=exQ=e^x とおくと ∫Pdx=−2x\int P dx=-2x これから

y=e2x(∫e−2x⋅exdx+C)=e2x(−e−x+C)=Ce2x−exy=e^{2x}\left(\int e^{-2x}\cdot e^x dx+C\right)=e^{2x}(-e^{-x}+C)=Ce^{2x}-e^x

（C は任意定数）

(2)

y′+3y=x2+1y'+3y=x^2+1

P=3P=3、Q=x2+1Q=x^2+1 とおくと ∫Pdx=3x\int P dx=3x これから

y=e−3x{∫e3x(x2+1)dx+C}=e−3x{13(x2+1)e3x−13∫2xe3xdx+C}y=e^{-3x}\left\{\int e^{3x}(x^2+1)dx+C\right\}=e^{-3x}\left\{\frac{1}{3}(x^2+1)e^{3x}-\frac{1}{3}\int 2xe^{3x}dx+C\right\}

=e−3x{13(x2+1)e3x−29xe3x+29∫e3xdx+C}=e−3x{13(x2+1)e3x−29xe3x+227e3x+C}=e^{-3x}\left\{\frac{1}{3}(x^2+1)e^{3x}-\frac{2}{9}xe^{3x}+\frac{2}{9}\int e^{3x}dx+C\right\}=e^{-3x}\left\{\frac{1}{3}(x^2+1)e^{3x}-\frac{2}{9}xe^{3x}+\frac{2}{27}e^{3x}+C\right\}

=Ce−3x+127(9x2−6x+11)=Ce^{-3x}+\frac{1}{27}(9x^2-6x+11)

（C は任意定数）

(3)

y′+y=sin⁡xy'+y=\sin x

P=1P=1、Q=sin⁡xQ=\sin x とおくと ∫Pdx=x\int P dx=x これから

y=e−x{∫exsin⁡x dx+C}y=e^{-x}\left\{\int e^x \sin x\,dx+C\right\}

I=∫exsin⁡x dxI=\displaystyle\int e^x \sin x\,dx とおくと

=−excos⁡x+∫excos⁡x dx=−excos⁡x+exsin⁡x−∫exsin⁡x dx=−excos⁡x+exsin⁡x−I=-e^x\cos x+\int e^x \cos x\,dx=-e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x \sin x\,dx=-e^x\cos x+e^x\sin x-I

I=12ex(sin⁡x−cos⁡x)I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x) これから

y=e−x{12ex(sin⁡x−cos⁡x)+C}=Ce−x+12(sin⁡x−cos⁡x)y=e^{-x}\left\{\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\right\}=Ce^{-x}+\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)

（C は任意定数）

(4)

y′+xy=xy' + xy = x

P=xP = x 、 Q=xQ = x とおくと ∫Pdx=12x2\displaystyle \int P dx = \frac{1}{2} x^2 これから

y=e−12x2{∫e12x2x dx+C}=e−12x2{e12x2+C}=1+Ce−12x2y = e^{-\frac{1}{2}x^2} \left\{ \int e^{\frac{1}{2}x^2} x\, dx + C \right\} = e^{-\frac{1}{2}x^2} \left\{ e^{\frac{1}{2}x^2} + C \right\} = 1 + Ce^{-\frac{1}{2}x^2} (C は任意定数)

(5)

y′+exy=3exy' + e^x y = 3e^x

P=exP = e^x 、 Q=3exQ = 3e^x とおくと ∫Pdx=ex\displaystyle \int P dx = e^x これから

y=e−ex{∫eex3ex dx+C}=e−ex{3eex+C}=3+Ce−exy = e^{-e^x} \left\{ \int e^{e^x} 3e^x\, dx + C \right\} = e^{-e^x} \left\{ 3e^{e^x} + C \right\} = 3 + Ce^{-e^x} (C は任意定数)

(6)

y′+ycos⁡x=e−sin⁡xy' + y \cos x = e^{-\sin x}

P=cos⁡xP = \cos x 、 Q=e−sin⁡xQ = e^{-\sin x} とおくと ∫Pdx=sin⁡x\displaystyle \int P dx = \sin x これから

y=e−sin⁡x{∫esin⁡x⋅e−sin⁡x dx+C}=e−sin⁡x{∫dx+C}=e−sin⁡x{x+C}y = e^{-\sin x} \left\{ \int e^{\sin x} \cdot e^{-\sin x}\, dx + C \right\} = e^{-\sin x} \left\{ \int dx + C \right\} = e^{-\sin x} \{ x + C \} (C 任意定数)

解説: r31bn1z