第7章 7.23

$x^2 + xy + y^2 = 1$

$g = x^2 + xy + y^2 - 1 \text{とおく}$

$f = x^2 + y^2$

$g_x = 2x + y \qquad g_y = x + 2y \qquad f_x = 2x \qquad f_y = 2y$

ラグランジュの乗数法から

$\begin{cases} 2x - \lambda(2x+y) = 0 & ① \\ 2y - \lambda(x+2y) = 0 & ② \end{cases}$

①から $\lambda = \dfrac{2x}{2x+y}$

これを②に代入して $\therefore x = \pm y$

$x = y$ のとき $y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$x = -y$ のとき $y = \pm 1$ $x = \mp 1$

$f_{(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \pm\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{2}{3} \qquad f_{(\pm 1, \mp 1)} = 2$

よって $(\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}})$ のとき最小値 $\dfrac{2}{3}$ $(\pm 1, \mp 1)$ のとき最大値 $2$