第7章 7.16

(1)

$2x^2 + 2xy + y^2 = 1$

$F = 2x^2 + 2xy + y^2 - 1$ とおくと

$F_x = 4x+2y$ $F_y = 2x+2y$ $F_{xx} = 4$ $F_{yy} = 2$ $F_{xy} = 2$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x+2y}{2x+2y} = -\frac{2x+y}{x+y}$

$\dfrac{dy}{dx}=0$ として $2x+y=0$

与式は $2x^2+y(2x+y)=1$ $2x^2+0=1$ $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $y=\mp\sqrt{2}$

よって $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき 極小値 $-\sqrt{2}$ $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき 極大値 $\sqrt{2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4\cdot4(x+y)^2-4\cdot4(2x+y)(x+y)+2\cdot4(2x+y)^2}{8(x+y)^3} = -\frac{2(x+y)^2-2(2x+y)(x+y)+(2x+y)^2}{(x+y)^3}$

$=-\frac{1}{(x+y)^3}$

（別） １次導関数、２次導関数を教科書の公式を用いずに導出する。

与式を微分して $4x+2y+2xy'+2yy'=0$ ①

$y'(2x+2y)=-(4x+2y)$ $y'=\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+y}$

① を微分して $4+2y'+2y'+2xy''+2y'^2+2yy''=0$ $y''(2x+2y)=-(4+4y'+2y'^2)$

$y''=\frac{-(4+4y'+2y'^2)}{2x+2y}=-\frac{y'^2+2y'+2}{x+y}=-\frac{(2x+y)^2-2(2x+y)(x+y)+2(x+y)^2}{(x+y)^3}=-\frac{1}{(x+y)^3}$

(2)

$x^2 - 2xy + y^2 - 4x + 2y - 6 = 0$

$F = x^2 - 2xy + y^2 - 4x + 2y - 6$ とおく

$F_x = 2x-2y-4 \qquad F_y = -2x+2y+2 \qquad F_{xx}=2 \qquad F_{yy}=2 \qquad F_{xy}=-2$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x-2y-4}{-2x+2y+2} = -\frac{x-y-2}{-x+y+1}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{F_{xx}F_y^{\,2} - 2F_{xy}F_xF_y + F_{yy}F_x^{\,2}}{F_y^{\,3}}$

$= -\frac{2(-2x+2y+2)^2 - 2(-2)(2x-2y-4)(-2x+2y+2) + 2(2x-2y-4)^2}{(-2x+2y+2)^3} = \frac{1}{(x-y-1)^3}$

$\dfrac{dy}{dx}=0$ のとき $x-y=2$ $x=y+2$

与式は $(x-y)^2-4x+2y-6=0$ となるので

$2^2-4(y+2)+2y-6=0 \qquad y=-5$

このとき $x=-3$ であり

$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{(-3,-5)} > 0 \qquad \text{極小}$

よって $x=-3$ のとき 極小値 $-5$