第7章 7.14

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

$g=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$とする

$f=xyz$

$g_x=\dfrac{2}{a^2}x$ $g_y=\dfrac{2}{b^2}y$ $g_z=\dfrac{2}{c^2}z$ $f_x=yz$ $f_y=xz$ $f_z=xy$

ラグランジュの乗数法から

$\begin{cases} yz-\lambda\dfrac{2}{a^2}x=0 \\ xz-\lambda\dfrac{2}{b^2}y=0 \\ xy-\lambda\dfrac{2}{c^2}z=0 \end{cases}$

これから $\lambda=\dfrac{yz}{2x}a^2=\dfrac{xz}{2y}b^2=\dfrac{xy}{2z}c^2$ $y^2=\dfrac{b^2}{a^2}x^2$ $z^2=\dfrac{c^2}{a^2}x^2$

これらを条件式に代入して

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{a^2}=1$ $x=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$

同様に $y=\dfrac{b}{\sqrt{3}}$ $z=\dfrac{c}{\sqrt{3}}$

よって$\left(\dfrac{a}{\sqrt{3}},\dfrac{b}{\sqrt{3}},\dfrac{c}{\sqrt{3}}\right)$を頂点に持つ直方体