第6章 6.19

$f_{(x,y)} = \begin{cases} x + \dfrac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

$f_x = 1 + \frac{y(x^2+y^2) - xy \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = 1 + \frac{-x^2y+y^3}{(x^2+y^2)^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x = 1$

$f_y = \frac{x(x^2+y^2) - xy \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y = 0$

よって原点で連続でない