第5章 5.31

$\log(x+\sqrt{x^2+1})-1 < \int_0^x \frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\,dt$

右辺において $t^2+1=u$ とおくと $2tdt=du$ $t:0 \to x$ $u:1 \to x^2+1$ これから

$\text{右辺}=\int_0^{x^2+1}\frac{1}{2\sqrt{u}}\,du=\frac{1}{2}\left[2\sqrt{u}\right]_1^{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}-1$

$F_{(x)}=\sqrt{x^2+1}-1-\log(x+\sqrt{x^2+1})+1=\sqrt{x^2+1}-\log(x+\sqrt{x^2+1})$ とおくと

$F'_{(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$

$F'_{(x)}=0$ のとき

$x(x+\sqrt{x^2+1})-\sqrt{x^2+1}-x=0$

$(x-1)(x+\sqrt{x^2+1})=0$

$x=1$ の前後の $F_{(x)}$ の値から考えて $x=1$ の時極小値 $F_{(1)}>0$

これから与式は成り立つ