第5章 5.26

(1)

$\int_2^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$

$x = \dfrac{1}{\cos\theta}$ とおくと $dx = -\dfrac{-\sin\theta}{\cos^2\theta} d\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} d\theta$ $x : 2 \to \infty$ $\theta : \dfrac{\pi}{3} \to \dfrac{\pi}{2}$ これから

$= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{1}{\cos\theta}\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}-1}} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} d\theta = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = [\theta]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{6}$

(2)

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$

(1)

と同様に考えて　$x : 1 \to \infty$　$\theta : 0 \to \dfrac{\pi}{2}$　これから

$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta = [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

(3)

$\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$

(1)

と同様に考えて　$x : -2 \to -1$　$\theta : \dfrac{4}{3}\pi \to \pi$　これから

$= \int_{\frac{4}{3}\pi}^{\pi} d\theta = [\theta]_{\frac{4}{3}\pi}^{\pi} = -\frac{\pi}{3}$

(4)

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx$

(1)

と同様に考えて　$x : -\infty \to \infty$　$\theta : \dfrac{\pi}{2} \to \dfrac{\pi}{2}$

しかし、分母において$-1 \leq x \leq 1$でじゃ定義されていない。 よって積分できない。