高専の数学解説

第5章 5.24

r=a(1+cos⁡θ)(a>0)r = a(1+\cos\theta) \qquad (a>0)

与式から 0≤r≤2a0 \le r \le 2a r=0r=0のときθ=π\theta=\pi r=2ar=2aのときθ=0\theta=0

またx=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\thetaからそれぞれにrrを代入して

x=a(1+cos⁡θ)⋅cos⁡θy=a(1+cos⁡θ)⋅sin⁡θx=a(1+\cos\theta)\cdot\cos\theta \qquad y=a(1+\cos\theta)\cdot\sin\theta これから

V=π∫π0{a(1+cos⁡θ)⋅sin⁡θ}2⋅{a(1+cos⁡θ)⋅cos⁡θ}′dθV = \pi\int_{\pi}^{0} \{a(1+\cos\theta)\cdot\sin\theta\}^2 \cdot \{a(1+\cos\theta)\cdot\cos\theta\}' d\theta

=π∫π0{a2(1+cos⁡θ)2⋅sin⁡2θ}{a(−sin⁡θ)⋅cos⁡θ−a(1+cos⁡θ)⋅sin⁡θ}dθ= \pi\int_{\pi}^{0} \{a^2(1+\cos\theta)^2\cdot\sin^2\theta\}\{a(-\sin\theta)\cdot\cos\theta - a(1+\cos\theta)\cdot\sin\theta\}d\theta

=πa3∫0π(1+cos⁡θ)2(1+2cos⁡θ)⋅sin⁡3θdθ= \pi a^3\int_{0}^{\pi}(1+\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)\cdot\sin^3\theta d\theta

=πa3∫0π(1+cos⁡θ)2(1+2cos⁡θ)(1−cos⁡2θ)⋅sin⁡θdθ= \pi a^3\int_{0}^{\pi}(1+\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)(1-\cos^2\theta)\cdot\sin\theta d\theta

cos⁡θ=t\cos\theta=tとおくと dθ=−dtd\theta=-dt θ:0→π\theta:0\to\pi t:1→−1t:1\to -1 これから

=πa3∫1−1−(1+t)2(1+2t)(1−t2)dt= \pi a^3\int_{1}^{-1} -(1+t)^2(1+2t)(1-t^2)dt

=πa3∫−11(1+4t+4t2−2t3−5t4−2t5)dt= \pi a^3\int_{-1}^{1}(1+4t+4t^2-2t^3-5t^4-2t^5)dt

=2πa3∫01(1+4t2−5t4)dt=2πa3[t+43t3−t5]01=83πa3= 2\pi a^3\int_{0}^{1}(1+4t^2-5t^4)dt = 2\pi a^3\left[t+\frac{4}{3}t^3-t^5\right]_0^1 = \frac{8}{3}\pi a^3

解説: r31bn1z