高専の数学解説

第5章 5.17

2x2−3xy+2y2=12x^2 - 3xy + 2y^2 = 1

2y2−3xy+(2x2−1)=02y^2 - 3xy + (2x^2 - 1) = 0

y=3x±9x2−8(2x2−1)4y = \dfrac{3x \pm \sqrt{9x^2 - 8(2x^2 - 1)}}{4}

yy が２つの実数解を持つには

9x2−8(2x2−1)>0−7x2>−8x2<87∴−87<x<879x^2 - 8(2x^2 - 1) > 0 \qquad -7x^2 > -8 \qquad x^2 < \dfrac{8}{7} \qquad \therefore -\sqrt{\dfrac{8}{7}} < x < \sqrt{\dfrac{8}{7}}

これから

S=∫−87873x+8−7x24 dx−∫−87873x−8−7x24 dx=∫−87878−7x22 dxS = \int_{-\sqrt{\frac{8}{7}}}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} \dfrac{3x + \sqrt{8 - 7x^2}}{4}\,dx - \int_{-\sqrt{\frac{8}{7}}}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} \dfrac{3x - \sqrt{8 - 7x^2}}{4}\,dx = \int_{-\sqrt{\frac{8}{7}}}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} \dfrac{\sqrt{8 - 7x^2}}{2}\,dx

この関数は偶感数であることから次のように書き換えることが出来る

=2∫0878−7x22 dx=∫0878−7x2 dx=7∫08787−x2 dx= 2\int_{0}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} \dfrac{\sqrt{8 - 7x^2}}{2}\,dx = \int_{0}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} \sqrt{8 - 7x^2}\,dx = \sqrt{7}\int_{0}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} \sqrt{\dfrac{8}{7} - x^2}\,dx

=[72{x87−x2+87sin⁡−1x8/7}]087=72(87⋅π2)=27π= \left[\dfrac{\sqrt{7}}{2}\left\{x\sqrt{\dfrac{8}{7} - x^2} + \dfrac{8}{7}\sin^{-1}\dfrac{x}{\sqrt{8/7}}\right\}\right]_{0}^{\sqrt{\frac{8}{7}}} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\left(\dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{2}{\sqrt{7}}\pi

第１項の積分の面積

第２項の積分の面積

解説: r31bn1z