第4章 4.10

(1)

$\frac{1}{5+3\cos x}$

$\displaystyle\int \frac{1}{5+3\cos x}dx$ $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ これから

$=\int \frac{1}{5+\dfrac{3(1-t^2)}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{2}{5+5t^2+3-3t^2}\,dt=\int\frac{2}{8+2t^2}\,dt=\int\frac{1}{4+t^2}\,dt=\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{t}{2}+C$

元に戻して

$=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\tan\frac{x}{2}\right)+C$ （C は積分定数）

(2)

$\frac{4-2\cos x}{5-4\cos x}$

$\displaystyle\int\frac{4-2\cos x}{5-4\cos x}dx$ $\tan\dfrac{x}{2}=t$ とおくと $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ これから

$=\int\frac{4-\dfrac{2(1-t^2)}{1+t^2}}{5-\dfrac{4(1-t^2)}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{4+4t^2-2+2t^2}{5+5t^2-4+4t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt=\int\frac{6t^2+2}{9t^2+1}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt$

$=\int\left(\frac{3}{9t^2+1}+\frac{1}{t^2+1}\right)dt=\tan^{-1}3t+\tan^{-1}t+C$ 元に戻して

$=\tan^{-1}\left(3\tan\frac{x}{2}\right)+\tan^{-1}\left(\tan\frac{x}{2}\right)+C=\tan^{-1}\left(3\tan\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}+C$ （C は積分定数）