第3章 3.24

(1)

$\frac{1}{1+x^2}$

$f = \dfrac{1}{1+x^2}$ とおくと

$f' = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \qquad f'_{(0)} = 0$

$f'' = \frac{-2(1+x^2)^2 + 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2)^2 + 8x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4}$

$= -2(1+x^2)^{-2} + 8x^2(1+x^2)^{-3} \qquad f''_{(0)} = -2$

$f''' = 4(1+x^2)^{-3} \cdot 2x + 16x(1+x^2)^{-3} + 8x^2 \cdot (-3)(1+x^2)^{-4} \cdot 2x$

$= 24x(1+x^2)^{-3} - 48x^3(1+x^2)^{-4} \qquad f'''_{(0)} = 0$

$f'''$から考えて $f^{(4)}_{(0)} = 24$

これから

$f = 1 - x^2 + x^4 - \cdots + (-1)^n x^{2n}$

$r = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{1} \right| = 1$

(2)

$\tan^{-1} x$

$\tan^{-1} x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} \, dt \quad \text{なので}$

(1)

から

$\tan^{-1} x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \cdots + (-1)^n \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$