第3章 3.22

(1)

$\frac{1}{1-x}$

$f = \frac{1}{1-x}$ とおくと

$f' = \frac{1}{(1-x)^2} \qquad f'_{(0)} = 1$

$f'' = \frac{2}{(1-x)^3} \qquad f''_{(0)} = 2$

これから

$f = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$

$\frac{1}{1-x^2}$ は $f$ において $x \to x^2$ としたものなので

$\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots$

(2)

$\frac{1}{1+x}$

$f = \frac{1}{1+x}$ とおくと

$f' = \frac{-1}{(1+x)^2} \qquad f'_{(0)} = -1$

$f'' = \frac{2}{(1+x)^3} \qquad f''_{(0)} = 2$

これから

$f = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$

(1)

から $\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots$ なので

$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{1-x} = (1 - x + x^2 - x^3 + \cdots) \cdot (1 + x + x^2 + x^3 + \cdots) = (1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots)$

(3)

$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right)$

$= \frac{1}{2}\{(1+x+x^2+x^3+\cdots) + (1-x+x^2-x^3+\cdots)\}$

$= \frac{1}{2}(2+2x^2+2x^4+2x^6+\cdots) = 1+x^2+x^4+x^6+\cdots$