第3章 3.20

(1)

$\log(1+x+x^2)$

$f = \log(1+x+x^2)$ とおくと

$f' = \frac{1+2x}{1+x+x^2} \qquad f'_{(0)} = 1$

$f'' = \frac{2(1+x+x^2)-(1+2x)^2}{(1+x+x^2)^2} = \frac{-2x^2-2x+1}{(1+x+x^2)^2} \qquad f''_{(0)} = 1$

$f''' = \frac{(-4x-2)(1+x+x^2)^2 - (-2x^2-2x+1)(1+x+x^2)(2x+1)\cdot 2}{(1+x+x^2)^4} \qquad f'''_{(0)} = -4$

これから

$f \cong x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3$

(2)

$\sqrt{1-x+x^2}$

$f = \sqrt{1-x+x^2}$ とおくと

$f' = \frac{-1+2x}{2\sqrt{1-x+x^2}} \qquad f'_{(0)} = -\frac{1}{2}$

$f'' = \frac{2\sqrt{1-x+x^2} - (-1+2x)\dfrac{-1+2x}{2\sqrt{1-x+x^2}}}{2(1-x+x^2)} \qquad f''_{(0)} = \frac{3}{4}$

これから

$f \cong 1 - \frac{1}{2}x + \frac{\frac{3}{4}}{2!}x^2 = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$

(3)

$\sqrt[3]{1+x^2}$

$f = \sqrt[3]{1+x^2}$ とおくと

$f' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(1+x^2)^2}} = \frac{2}{3}x \cdot (1+x^2)^{-\frac{2}{3}} \qquad f'_{(0)} = 0$

$f'' = \frac{2}{3}\left\{(1+x^2)^{-\frac{2}{3}} + x \cdot \left(-\frac{2}{3}(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x\right)\right\} = \frac{2}{3}(1+x^2)^{-\frac{2}{3}} - \frac{8}{9}x^2(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} \qquad f''_{(0)} = \frac{2}{3}$

$f''' = -\frac{4}{9}(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} \cdot 2x - \frac{8}{9}\left\{2x(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} + x^2\left(-\frac{5}{3}\right)(1+x^2)^{-\frac{8}{3}} \cdot 2x\right\}$

$= -\frac{8}{9}x(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} - \frac{16}{9}x(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} + \frac{80}{27}x^3(1+x^2)^{-\frac{8}{3}} = -\frac{24}{9}x(1+x^2)^{-\frac{5}{3}} + \frac{80}{27}x^3(1+x^2)^{-\frac{8}{3}}$

$f'''_{(0)} = 0$

$f^{(4)}{}_{(0)}$ は $f'''$ から考えて $\qquad f^{(4)}{}_{(0)} = -\frac{24}{9}$

これから

$f \cong 1 + \frac{\frac{2}{3}}{2!}x^2 - \frac{\frac{24}{9}}{4!}x^4 = 1 + \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{9}x^4$