高専の数学解説

第1章 1.26

(1)

y=tan⁡−1(ax)−12log⁡(1+a2x2)y = \tan^{-1}(ax) - \frac{1}{2}\log(1+a^2x^2)

y′=a1+(ax)2−12⋅2a2x1+(ax)2=a−a2x1+(ax)2y' = \frac{a}{1+(ax)^2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2a^2x}{1+(ax)^2} = \frac{a-a^2x}{1+(ax)^2}

y′′=−a2{1+(ax)2}−(a−a2x)⋅2a2x{1+(ax)2}2=−a2−a4x2−2a3x+2a4x2{1+(ax)2}2=−a2+a4x2−2a3x{1+(ax)2}2y'' = \frac{-a^2\{1+(ax)^2\}-(a-a^2x)\cdot 2a^2x}{\{1+(ax)^2\}^2} = \frac{-a^2-a^4x^2-2a^3x+2a^4x^2}{\{1+(ax)^2\}^2} = \frac{-a^2+a^4x^2-2a^3x}{\{1+(ax)^2\}^2}

y′=0y'=0 のとき a−a2x1+(ax)2=0\dfrac{a-a^2x}{1+(ax)^2}=0 a(1−ax)=0a(1-ax)=0 ∴x=1a\therefore x=\dfrac{1}{a}

x=1ax=\dfrac{1}{a} のとき y′′=−a2+a2−2a2(1+1)2=−2a24=−a22<0y''=\dfrac{-a^2+a^2-2a^2}{(1+1)^2}=\dfrac{-2a^2}{4}=-\dfrac{a^2}{2}<0 （極大）

これから

x=1ax=\dfrac{1}{a} のとき最大値 y=tan⁡−11−12log⁡2=π4−12log⁡2y=\tan^{-1}1-\dfrac{1}{2}\log 2=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\log 2

(2)

y=tan⁡−1x−tan⁡−1x3y=\tan^{-1}x-\tan^{-1}\frac{x}{3}

y′=1x2+1−13x29+1=1x2+1−3x2+9=x2+9−3(x2+1)(x2+1)(x2+9)=−2x2+6(x2+1)(x2+9)y'=\frac{1}{x^2+1}-\frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{x^2}{9}+1}=\frac{1}{x^2+1}-\frac{3}{x^2+9}=\frac{x^2+9-3(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+9)}=\frac{-2x^2+6}{(x^2+1)(x^2+9)}

y′′=−2x(x2+1)2−−6x(x2+9)2=−2x(x2+9)2+6x(x2+1)2(x2+1)2(x2+9)2y''=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}-\frac{-6x}{(x^2+9)^2}=\frac{-2x(x^2+9)^2+6x(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2(x^2+9)^2}

y′=0y'=0 のとき −2x2+6(x2+1)(x2+9)=0\dfrac{-2x^2+6}{(x^2+1)(x^2+9)}=0 −2x2+6=0-2x^2+6=0 ∴x=±3\therefore x=\pm\sqrt{3}

x=3x=\sqrt{3} のとき y′′y''の分子は −23(3+9)2+63(3+1)2<0-2\sqrt3(3+9)^2+6\sqrt3(3+1)^2<0 （極大）

x=−3x=-\sqrt{3} のとき y′′y''の分子は 23(3+9)2−63(3+1)2>02\sqrt3(3+9)^2-6\sqrt3(3+1)^2>0 （極小）

これから

x=3x=\sqrt{3} のとき最大値 y=tan⁡−13−tan⁡−133=π3−π6=π6y=\tan^{-1}\sqrt3-\tan^{-1}\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}

解説: r31bn1z