第1章 1.22

(1)

$x = \sqrt{t}$ ①

$y = 2\sqrt{t} - t$ ②

①を②に代入すると

$y = 2x - x^2$

①から $t \geq 0$ より $x \geq 0$

②から $y' = \dfrac{2}{2\sqrt{t}} - 1 = \dfrac{1}{\sqrt{t}} - 1$ $y'' = -\dfrac{1}{2\sqrt{t^3}}$

$y'=0$ のとき $\dfrac{1}{\sqrt{t}} - 1 = 0$ $t = \pm 1$ $t \geq 0$ から $\therefore t = 1$

$t=1$ のとき $y'' = -\dfrac{1}{2} < 0$ （極大） $y = 2-1=1$

これから $y \leq 1$

よって $y = 2x - x^2$ $(x \geq 0, y \leq 1)$

(2)

$x = t + \dfrac{1}{t}$ ①

$y = t^2 + \dfrac{1}{t^2}$ ②

$①^2$から

$x^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

$x^2 - 2 = t^2 + \frac{1}{t^2}$ ③

③を②に代入して

$y = x^2 - 2$ ④

②から $y' = 2t - \dfrac{2}{t^3}$ $y'' = 2 + \dfrac{6}{t^4}$

$y'=0$ のとき $2t - \dfrac{2}{t^3} = 0$ $\therefore t = \pm 1$

$t=1$ のとき $y'' = 2+6=8>0$ （極小） $y=2$

$t=-1$ のとき $y''=2+6=8>0$ （極小） $y=2$

これから $y\geq 2$

④に代入すると

$x^2\geq 4 \qquad \therefore x\leq -2 、2\leq x$

よって $y=x^2-2$ $(x\leq -2,2\leq x,y\geq 2)$

(3)

$x=\frac{2t}{1+t^2}\qquad ①$

$y=\frac{1-t^2}{1+t^2}\qquad ②$

②から

$y=-1+\frac{2}{1+t^2}\qquad y+1=\frac{2}{1+t^2}\qquad ②'$

②’を①に代入して

$x=(y+1)t \qquad \therefore t=\frac{x}{y+1}\qquad ③\qquad \text{定義域は}(y\neq -1)$

③を①に代入して

$x=\dfrac{\dfrac{2x}{y+1}}{1+\dfrac{x^2}{(y+1)^2}}=\dfrac{\dfrac{2x}{y+1}}{\dfrac{(y+1)^2+x^2}{(y+1)^2}}=\dfrac{2x(y+1)}{y^2+2y+1+x^2}$

$xy^2+2xy+x+x^3=2xy+2x \qquad x^3-x+xy^2=0 \qquad \therefore x^2+y^2=1$

これは半径１の円なので③の定義域を考慮すると $-1\leq x\leq 1$ $-1< y\leq 1$

(4)

$x=\sin\theta+1\qquad ①$

$y=\cos 2\theta \qquad ②$

①$^2$から

$x^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta + 1 \qquad ①'$

②から

$y = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \qquad \sin^2\theta = \frac{1}{2} - \frac{y}{2} \qquad ②'$

②’を①’に代入して

$x^2 = \frac{1}{2} - \frac{y}{2} + 2\sin\theta + 1 \qquad \sin\theta = \frac{1}{2}\left(x^2 + \frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) \qquad ③$

③を①に代入して

$x = \frac{1}{2}\left(x^2 + \frac{y}{2} - \frac{3}{2}\right) + 1 \qquad 4x = 2x^2 + y - 3 + 4$

$y = 4x - 2x^2 - 1 = -2(x-1)^2 + 1$

$-1 \leq \sin\theta \leq 1$ から $\qquad 0 \leq x \leq 2$

$-1 \leq \cos 2\theta \leq 1$ から $\qquad -1 \leq y \leq 1$