第1章 1.9

(1)

$x = t^2 + 1$ $y = \log t \qquad (t = 1)$

$\frac{dx}{dt} = f'_{(t)} = 2t$

$t = 1$ のとき $f'_{(1)} = 2$

$\frac{dy}{dt} = g'_{(t)} = \frac{1}{t}$

$t = 1$ のとき $g'_{(1)} = 1$

$t = 1$ のとき $x_0 = 2$ $y_0 = 0$

これから接線の方程式は$\dfrac{x - x_0}{f'_{(t_0)}} = \dfrac{y - y_0}{g'_{(t_0)}}$なので

$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 0}{1} \qquad \therefore y = \frac{1}{2}x - 1$

法線の方程式は$f'_{(t_0)}(x - x_0) + g'_{(t_0)}(y - y_0)$なので

$2(x - 2) + (y - 0) = 0 \qquad \therefore y = -2x + 4$

(2)

$x = \frac{3t}{1+t^3}$

$y = \frac{3t^3}{1+t^3} \qquad (t=2)$

$\frac{dx}{dt} = f'_{(t)} = \frac{3(1+t^3) - 3t \cdot 3t^2}{(1+t^3)^2}$

$t=2$ のとき

$f'_{(2)} = \frac{3(1+8) - 6 \cdot 12}{(1+8)^2} = \frac{27-72}{81} = -\frac{5}{9}$

$\frac{dy}{dt} = g'_{(t)} = \frac{3 \cdot 3t^2 (1+t^3) - 3t^3 \cdot 3t^2}{(1+t^3)^2}$

$t=2$ のとき

$g'_{(2)} = \frac{3 \cdot 12(1+8) - 3 \cdot 8 \cdot 12}{(1+8)^2} = \frac{324-288}{81} = -\frac{4}{9}$

$t=2$ のとき $x_0 = \frac{6}{1+8} = \frac{2}{3}$ $y_0 = \frac{24}{1+8} = \frac{8}{3}$

これから接線の方程式は

$\frac{x-\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{5}{9}} = \frac{y-\dfrac{8}{3}}{\dfrac{4}{9}} \qquad \therefore y = -\frac{4}{5}(x-4)$

法線の方程式は

$-\frac{5}{9}\left(x-\frac{2}{3}\right) + \frac{4}{9}\left(y-\frac{8}{3}\right) = 0 \qquad \therefore y = \frac{5}{4}x + \frac{11}{6}$