第18章 18.14

(1)

$p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c} = 0$ において $p = q = r = 0$ でのみ成り立てばよい

$\begin{bmatrix} 2x & 2y & 3z \\ x+y & y+z & z+x \\ x-y & y-z & z-x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2x & 2y & 3z \\ x+y & y+z & z+x \\ x-y & y-z & z-x \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2x & 2y & 3z \\ x+y & y+z & z+x \\ 2x & 2y & 2z \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2x & 2y & 3z \\ 2x+2y & 2y+2z & 2z+2x \\ 2x & 2y & 2z \end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix} 2x & 2y & 3z \\ -2y & -2z & z-2x \\ 0 & 0 & -z \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2x & 2y & 3z \\ -2y & -2z & z-2x \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2x & 2y & 0 \\ -2y & -2z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} x & y & 0 \\ y & z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{y}{x} & 0 \\ y & z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{y}{x} & 0 \\ 0 & z - \frac{y^2}{x} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{y}{x} & 0 \\ 0 & \frac{xz-y^2}{x} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$xz > y^2$ から $xz - y^2 > 0$ よって

$\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{y}{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

これから $p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c} = 0$ において $p = q = r = 0$ でのみ成り立つ よって１次独立である