高専の数学解説

第18章 18.12

(1)

a1,a2,⋯ ,ara_1, a_2, \cdots, a_r が張る部分空間を UU とおくと

(λ1a1+λ2a2+⋯+λrar)+(μ1a1+μ2a2+⋯+μrar)(\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_r a_r) + (\mu_1 a_1 + \mu_2 a_2 + \cdots + \mu_r a_r)

=(λ1+μ1)a1+(λ2+μ2)a2+⋯+(λr+μr)ar= (\lambda_1 + \mu_1)a_1 + (\lambda_2 + \mu_2)a_2 + \cdots + (\lambda_r + \mu_r)a_r

ゆえに「a∈Ua \in U、b∈Ub \in U ならば a+b∈Ua + b \in U」の条件を満たす

ν(λ1a1+λ2a2+⋯+λrar)=νλ1a1+νλ2a2+⋯+νλrar\nu(\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_r a_r) = \nu\lambda_1 a_1 + \nu\lambda_2 a_2 + \cdots + \nu\lambda_r a_r

ゆえに「ν∈R\nu \in R、a∈Ua \in U ならば νa∈U\nu a \in U」の条件を満たす

よって UU は部分空間である

(2)

u,u′∈V∩Wu, u' \in V \cap W、r,r′∈Rr, r' \in R のとき

ru+r′u′ru + r'u' は VV にも WW にも属し、ru+r′u′∈V∩Wru + r'u' \in V \cap W である

よって共通部分 V∩WV \cap W は部分空間である

(3)

v,v′∈Vv, v' \in V、w,w′∈Ww, w' \in W、r,r′∈Rr, r' \in R のとき

r(v+w)+r′(v′+w′)=(rv+r′v′)+(rw+r′w′)∈V+Wr(v + w) + r'(v' + w') = (rv + r'v') + (rw + r'w') \in V + W

よって和 V+WV + W は部分空間である

(4)

任意な x,y∈V⊥x, y \in V^{\perp} と任意な c∈Rc \in R をとる

任意に z∈Vz \in V をとれば

(x+y,z)=(x,z)+(y,z)=0+0=0(x + y, z) = (x, z) + (y, z) = 0 + 0 = 0

(cx,z)=c(x,z)=c⋅0=0(cx, z) = c(x, z) = c \cdot 0 = 0

ゆえに x+y∈V⊥x + y \in V^{\perp}、cx∈V⊥cx \in V^{\perp}

よって V⊥V^{\perp} は部分空間である

解説: r31bn1z