第17章 17.25

(1)

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{pmatrix}$

$|A| = a^2 + b^2 \quad A^{-1} = \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ -b & a \end{pmatrix}$

(2)

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ b & a - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)^2 - b^2 = a^2 - 2a\lambda + \lambda^2 - b^2 = \lambda^2 - 2a\lambda + a^2 - b^2 = 0$

$\lambda = a \pm \sqrt{a^2 - a^2 + b^2} = a \pm b$

$\lambda = a + b$ のとき

$\begin{pmatrix} -b & b \\ b & -b \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{これから} \quad P_1 = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = a - b$ のとき

$\begin{pmatrix} b & b \\ b & b \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{これから} \quad P_2 = \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3)

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} \quad A^n = P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} P^{-1} \quad P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

これから

$A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (a+b)^n & 0 \\ 0 & (a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n & -(a-b)^n \\ (a+b)^n & (a-b)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (a+b)^n + (a-b)^n & (a+b)^n - (a-b)^n \\ (a+b)^n - (a-b)^n & (a+b)^n + (a-b)^n \end{pmatrix}$

これから

$c_n = (a+b)^n + (a-b)^n$ $d_n = (a+b)^n - (a-b)^n$

(3)から考えると

$A_{2,2}^n + A_{3,2}^n = \frac{1}{2}\{(b + c)^n + (b - c)^n\} + \frac{1}{2}\{(b + c)^n - (b - c)^n\} = (b + c)^n$