第17章 17.23

(1)

$a \neq 0$ のとき

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & a & a \\ a & 1-\lambda & a \\ a & a & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^3 + 2a^3 - 3a^2(1-\lambda) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 3(a^2-1)\lambda + 2a^3 - 3a^2 + 1$

$= -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 3(a^2-1)\lambda - (1-a)^2(1+2a) = -\{\lambda - (1-a)\}^2\{\lambda - (1+2a)\} = 0$

$\therefore \lambda = 1 + 2a, 1 - a \text{（\text{重解}）}$

$\lambda = 1 + 2a$ のとき

$\begin{pmatrix} -2a & a & a \\ a & -2a & a \\ a & a & -2a \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -2a & a & a \\ 2a & -4a & 2a \\ 2a & 2a & -4a \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -2a & a & a \\ 0 & -3a & 3a \\ 0 & 3a & -3a \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -2a & a & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} -2a & 0 & 2a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\therefore P_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

単位ベクトルにすると $P_1' = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = 1 - a$ のとき

$\begin{pmatrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\therefore P_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, P_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

単位ベクトルにすると $P_2' = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, P_3' = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\text{これから} \quad P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$\left(P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1+2a & 0 & 0 \\ 0 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-a \end{pmatrix}\right)$

$a = 0$ のとき

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^3 = 0$

$\therefore \lambda = 1 \text{（\text{三重解}）}$

$\lambda = 1$ のとき

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって任意の直交行列でよい

(2)

${}^t xAx = (x \quad y \quad z) \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = (x + ay + az \quad ax + y + az \quad ax + ay + z) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$= (x + ay + az)(x + y + z) + (ax + y + az)(x + y + z) + (ax + ay + z)(x + y + z)$

$= (x + y + z)\{(1 + 2a)x + (1 + 2a)y + (1 + 2a)z\} = (1 + 2a)(x + y + z)^2 > 0$

$(x + y + z)^2 > 0$ から $1 + 2a > 0$ であればよいので $-\dfrac{1}{2} < a$