第17章 17.21

直行行列なので ${}^tA = A^{-1}$ となる

$|A| = \begin{vmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & x_1 \\ x_2 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & x_3 & 1 \end{vmatrix} = \cos^2\alpha + x_1x_2x_3 - x_2\sin\alpha$

$|a_{11}| = \begin{vmatrix} \cos\alpha & 0 \\ x_3 & 1 \end{vmatrix} = \cos\alpha$

$|a_{12}| = \begin{vmatrix} x_2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = x_2$

$|a_{13}| = \begin{vmatrix} x_2 & \cos\alpha \\ 0 & x_3 \end{vmatrix} = x_2x_3$

$|a_{21}| = \begin{vmatrix} \sin\alpha & x_1 \\ x_3 & 1 \end{vmatrix} = \sin\alpha - x_1x_3$

$|a_{22}| = \begin{vmatrix} \cos\alpha & x_1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \cos\alpha$

$|a_{23}| = \begin{vmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ 0 & x_3 \end{vmatrix} = x_3\cos\alpha$

$|a_{31}| = \begin{vmatrix} \sin\alpha & x_1 \\ \cos\alpha & 0 \end{vmatrix} = -x_1\cos\alpha$

$|a_{32}| = \begin{vmatrix} \cos\alpha & x_1 \\ x_2 & 0 \end{vmatrix} = -x_1x_2$

$|a_{33}| = \begin{vmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ x_2 & \cos\alpha \end{vmatrix} = \cos^2\alpha - x_2\sin\alpha$

これから

$A^{-1} = \frac{1}{\cos^2\alpha + x_1x_2x_3 - x_2\sin\alpha} \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha + x_1x_3 & -x_1\cos\alpha \\ -x_2 & \cos\alpha & x_1x_2 \\ x_2x_3 & -x_3\cos\alpha & -\cos^2\alpha + x_2\sin\alpha \end{pmatrix}$

${}^tA = \begin{pmatrix} \cos\alpha & x_2 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & x_3 \\ x_1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}_{22} = {}^tA_{22}$ から、$\frac{1}{\cos^2\alpha + x_1x_2x_3 - x_2\sin\alpha} = 1$ となり

$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha + x_1x_3 & -x_1\cos\alpha \\ -x_2 & \cos\alpha & x_1x_2 \\ x_2x_3 & -x_3\cos\alpha & -\cos^2\alpha + x_2\sin\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & x_2 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & x_3 \\ x_1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}_{21} = {}^tA_{21}$ から $x_2 = -\sin\alpha$

$A^{-1}_{13} = {}^tA_{13}$ から $x_1 = 0$

$A^{-1}_{32} = {}^tA_{32}$ から $x_3 = 0$