第17章 17.17

(1)

$|A|=\begin{vmatrix}3 & 1 & 1\\1 & 3 & 1\\1 & 1 & 3\end{vmatrix}=17+1+1-3-3-3=20$

(2)

$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}3-\lambda & 1 & 1\\1 & 3-\lambda & 1\\1 & 1 & 3-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)^3+1+1-3(3-\lambda)=27-27\lambda+9\lambda^2-\lambda^3-7+3\lambda$

$=-\lambda^3+9\lambda^2-24\lambda+20=-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-5)=0 \quad \lambda=5,2 \quad （２\text{は重解}）$

(3)

$\lambda=5$ のとき

$\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1\\1 & -2 & 1\\1 & 1 & -2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -2\\1 & -2 & 1\\-2 & 1 & 1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -2\\0 & -3 & 3\\0 & 3 & -3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & -2\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$p_1=C_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

$\lambda=2$ のとき

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$p_2=C_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+C_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$