第17章 17.15

(1)

$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}1-\lambda & -2 \\ 1 & 4-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(4-\lambda)+2=4-5\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)=0$

$\lambda=2,3$

$\lambda=2$のとき

$\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

$p_1=C_1\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$

$\lambda=3$のとき

$\begin{pmatrix}-2 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

$p_2=C_2\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}$

(2)

$P=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$

$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$

(3)

$B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$

とおくと

$P^{-1}A^nP=B^n$

から

$A^n=PB^nP^{-1}$

$|P|=2-2=1$

$P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$

から

$A^n=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1} & -3^n \\ -2^n & 3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n+1}-3^n & 2^{n+1}-2 \cdot 3^n \\ -2^n+3^n & -2^n+2 \cdot 3^n\end{pmatrix}$