第17章 17.13

(1)

$\left|A-\lambda I\right| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & 2 \\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^3 - (1-\lambda) = (1-\lambda)(1-2\lambda+\lambda^2-1)$

$= (1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda) = \lambda(1-\lambda)(\lambda-2) = 0 \quad \lambda = 0,1,2$

$\lambda = 0$ のとき

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad p_1 = C_1 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = 1$ のとき

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad p_2 = C_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\lambda = 2$ のとき

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad p_3 = C_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad x = k \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -k \\ 1-k \\ k \end{pmatrix}$

(3)

$|x|^2 = k^2 + (1-k)^2 + k^2 = 3k^2 - 2k + 1 = f \text{ において}$

$f' = 6k - 2 \quad f' = 0 \text{ のとき } k = \frac{1}{3} \quad \text{よって } \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$