高専の数学解説

第17章 17.10

(1)

A=(010001−441)とするとA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -4 & 4 & 1 \end{pmatrix} \text{とすると}

∣A−λE∣=∣−λ100−λ1−441−λ∣=λ2(1−λ)−4+4λ=−λ3+λ2+4λ−4=−(λ−1)(λ−2)(λ+2)=0|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ -4 & 4 & 1-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2(1-\lambda) - 4 + 4\lambda = -\lambda^3 + \lambda^2 + 4\lambda - 4 = -(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+2) = 0

λ=1,2,−2\lambda = 1,2,-2

λ=1\lambda = 1 のとき

(−1100−11−440)→(1−1001−11−10)→(1−1001−1000)→(10−101−1000)p1=C1(111)\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad p_1 = C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

λ=2\lambda = 2 のとき

(−2100−21−44−1)→(2−1002−1−44−1)→(2−1002−1−44−1)→(2−1002−106−1)→(20−102−1002)→(10−1401−12001)\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 6 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

p2=C2(1/41/21)=C2(124)p_2 = C_2\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix} = C_2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

λ=−2\lambda = -2 のとき

(210021−443)→(210021063)→(210021021)→(210021000)→(11200112000)→(10−140113001)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -4 & 4 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{4} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

p3=C3(1/4−1/21)=C3′(1−24)p_3 = C_3 \begin{pmatrix} 1/4 \\ -1/2 \\ 1 \end{pmatrix} = C_3' \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}

これから正則行列PはP=(11112−2144)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} これによる対角行列は(10002000−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

(2)

A=(2−116−106−21)とするとA = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 \end{pmatrix} \text{とすると}

∣A−λE∣=∣2−λ−116−1−λ06−21−λ∣=−(2−λ)(1+λ)(1−λ)−12+6(1+λ)+6(1−λ)|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ 6 & -1-\lambda & 0 \\ 6 & -2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = -(2-\lambda)(1+\lambda)(1-\lambda) - 12 + 6(1+\lambda) + 6(1-\lambda)

=−(2−λ)(1+λ)(1−λ)λ=1,−1,2= -(2-\lambda)(1+\lambda)(1-\lambda) \quad \lambda = 1,-1,2

λ=1\lambda = 1 のとき

(1−116−206−20)→(1−113−10000)→(1−1102−3000)→(1−1101−32000)→(10−1201−32000)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 6 & -2 & 0 \\ 6 & -2 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

p1=C1(1/23/21)=C1′(132)p_1 = C_1 \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \\ 1 \end{pmatrix} = C_1' \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

λ=−1\lambda = -1 のとき

(3−116006−22)→(1003−113−11)→(1003−11000)→(1000−11000)→(10001−1000)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 6 & 0 & 0 \\ 6 & -2 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

p2=C2(011)p_2 = C_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

λ=2\lambda = 2 のとき

(0−116−306−2−1)→(0−116−3001−1)→(0−112−1001−1)→(01−12−10000)→(2−1001−1000)→(20−101−1000)\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 6 & -3 & 0 \\ 6 & -2 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 6 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

→(10−1201−1000)\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

p3=C3(1/211)=C3′(122)p_3 = C_3 \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = C_3' \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

これから正則行列 PP は P=(101312212)P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

これによる対角行列は (1000−10002)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

(3)

A=(0−1−1121−1−10) とするときA = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \text{ とするとき}

∣A−λE∣=∣−λ−1−112−λ1−1−1−λ∣=λ2(2−λ)+1+1−(2−λ)−λ−λ=−λ3+2λ2−λ=−λ(λ−1)2=0|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda & -1 & -1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ -1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2(2-\lambda) + 1 + 1 - (2-\lambda) - \lambda - \lambda = -\lambda^3 + 2\lambda^2 - \lambda = -\lambda(\lambda - 1)^2 = 0

λ=0,1\lambda = 0,1（1は重解）

λ=0\lambda = 0 のとき

(0−1−1121−1−10)→(110121011)→(110011011)→(110011000)→(10−1011000)\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

p1=C1(1−11)p_1 = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}

λ=1\lambda = 1 のとき

(−1−1−1111−1−1−1)→(111000000)\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

p2=C2(−110)+C3(−101)p_2 = C_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + C_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

これから正則行列 PP は

P=(1−1−1−110101)P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

これによる対角行列は

(000010001)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

解説: r31bn1z