高専の数学解説

第16章 16.16

(1)

∣a+bbb⋯bba+bb⋯bbba+b⋯b⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯a+b∣=∣a+nbbb⋯ba+nba+bb⋯ba+nbba+b⋯b⋮⋮⋮⋱⋮a+nbbb⋯a+b∣\begin{vmatrix} a+b & b & b & \cdots & b \\ b & a+b & b & \cdots & b \\ b & b & a+b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+nb & b & b & \cdots & b \\ a+nb & a+b & b & \cdots & b \\ a+nb & b & a+b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a+nb & b & b & \cdots & a+b \end{vmatrix} =(a+nb)∣1bb⋯b1a+bb⋯b1ba+b⋯b⋮⋮⋮⋱⋮1bb⋯a+b∣=(a+nb)∣0bb⋯b0a0⋯000a⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯a∣=an−1(a+nb)= (a+nb) \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 1 & a+b & b & \cdots & b \\ 1 & b & a+b & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & b & b & \cdots & a+b \end{vmatrix} = (a+nb) \begin{vmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \\ 0 & a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix} = a^{n-1}(a+nb)

(2)

∣123⋯n−103⋯n−1−20⋯n⋮⋮⋮⋱⋮−1−2−3⋯0∣=∣123⋯n026⋯2n003⋯2n⋮⋮⋮⋱⋮000⋯n∣=n!\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ -1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ -1 & -2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -2 & -3 & \cdots & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 0 & 2 & 6 & \cdots & 2n \\ 0 & 0 & 3 & \cdots & 2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{vmatrix} = n!

解説: r31bn1z