高専の数学解説

第16章 16.11

(1)

∣abcdbadccdabdcba∣=∣a+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+dbadccdabdcba∣\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix} =(a+b+c+d)∣1111badccdabdcba∣=(a+b+c+d)∣1000ba−bd−bc−bcd−ca−cb−cdc−db−da−d∣= (a+b+c+d) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix} = (a+b+c+d) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ b & a-b & d-b & c-b \\ c & d-c & a-c & b-c \\ d & c-d & b-d & a-d \end{vmatrix} =(a+b+c+d)∣a−bd−bc−bd−ca−cb−cc−db−da−d∣=(a+b+c+d)∣a−b−c+da−b−c+d0d−ca−cb−cc−db−da−d∣= (a+b+c+d) \begin{vmatrix} a-b & d-b & c-b \\ d-c & a-c & b-c \\ c-d & b-d & a-d \end{vmatrix} = (a+b+c+d) \begin{vmatrix} a-b-c+d & a-b-c+d & 0 \\ d-c & a-c & b-c \\ c-d & b-d & a-d \end{vmatrix}

=(a+b+c+d){(a−b−c+d)(a+b−c−d)(a−d)+(a−b−c+d)(a+b−c−d)(c−d)= (a+b+c+d)\{(a-b-c+d)(a+b-c-d)(a-d) + (a-b-c+d)(a+b-c-d)(c-d) −(a−b−c+d)(a+b−c−d)(b−d)}- (a-b-c+d)(a+b-c-d)(b-d)\}

=(a+b+c+d)(a−b−c+d)(a+b−c−d)(a−b+c−d)= (a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)

(2)

∣1111abcda2b2c2d2a3b3c3d3∣=∣1000ab−ac−ad−aa2b2−a2c2−a2d2−a2a3b3−a3c3−a3d3−a3∣=∣b−ac−ad−ab2−a2c2−a2d2−a2b3−a3c3−a3d3−a3∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a & d-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 & d^2-a^2 \\ a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3 & d^3-a^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b-a & c-a & d-a \\ b^2-a^2 & c^2-a^2 & d^2-a^2 \\ b^3-a^3 & c^3-a^3 & d^3-a^3 \end{vmatrix} =∣b−ac−ad−a(b−a)(b+a)(c−a)(c+a)(d−a)(d+a)(b−a)(b2+ab+a2)(c−a)(c2+ac+a2)(d−a)(d2+ad+a2)∣= \begin{vmatrix} b-a & c-a & d-a \\ (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) & (d-a)(d+a) \\ (b-a)(b^2+ab+a^2) & (c-a)(c^2+ac+a^2) & (d-a)(d^2+ad+a^2) \end{vmatrix} =(b−a)(c−a)(d−a)∣111b+ac+ad+ab2+ab+a2c2+ac+a2d2+ad+a2∣= (b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b+a & c+a & d+a \\ b^2+ab+a^2 & c^2+ac+a^2 & d^2+ad+a^2 \end{vmatrix} =(b−a)(c−a)(d−a)∣100b+ac−bd−bb2+ab+a2c2+ac−ab−b2d2+ad−ab−b2∣= (b-a)(c-a)(d-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b+a & c-b & d-b \\ b^2+ab+a^2 & c^2+ac-ab-b^2 & d^2+ad-ab-b^2 \end{vmatrix}

=(b−a)(c−a)(d−a)∣c−bd−bc2+ac−ab−b2d2+ad−ab−b2∣= (b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix} c-b & d-b \\ c^2 + ac - ab - b^2 & d^2 + ad - ab - b^2 \end{vmatrix}

=(b−a)(c−a)(d−a)∣c−bd−b(c−b)(c+b+a)(d−b)(d+b+a)∣= (b-a)(c-a)(d-a)\begin{vmatrix} c-b & d-b \\ (c-b)(c+b+a) & (d-b)(d+b+a) \end{vmatrix}

=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)∣11c+b+ad+b+a∣= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ c+b+a & d+b+a \end{vmatrix}

=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)∣10c+b+ad−c∣= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ c+b+a & d-c \end{vmatrix}

=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

解説: r31bn1z