第15章 15.23

(1)

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a+b \\ 2c+d \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2b \\ c+2d \end{pmatrix}$

(2)

直線OPの式は $y = \dfrac{1}{2}x$ $x-2y=0$

線分OPの長さは $OP = \sqrt{2^2+1^1} = \sqrt{5}$

点Qから直線OPの距離は $h = \dfrac{|1-2\cdot 2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}$

これから△OPQの面積は $S = \sqrt{5}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$

直線$OP'$の式は $y = \dfrac{2c+d}{2a+b}x$ $(2c+d)x-(2a+b)y=0$

線分OP’の長さは $OP' = \sqrt{(2c+d)^2+(2a+b)^2}$

点Q’から直線OP’の距離は $h = \dfrac{|(2c+d)(a+2b)-(2a+b)(c+2d)|}{\sqrt{(2c+d)^2+(2a+b)^2}} = \dfrac{|-3ad+3bc|}{\sqrt{(2c+d)^2+(2a+b)^2}}$

これから△OPQの面積は $S = \sqrt{(2c+d)^2+(2a+b)^2}\cdot\dfrac{|-3ad+3bc|}{\sqrt{(2c+d)^2+(2a+b)^2}}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}(ad-bc)$

(3)

面積が等しいので $ad-bc=1$ ①

点P’がQと等しいので $2a+b=1$ $b=1-2a$ ②

$2c+d=2$ $d=2-2c$ ③

②、③を①に代入して

$a(2-2c)-(1-2a)c=1 \qquad 2a-2ac-c+2ac=1 \qquad 2a-c=1 \qquad c=2a-1 \quad ④$

④を③に代入して $d=2-4a+2=4-4a$ ⑤

②、③、⑤をQ’の値に代入して $Q'(a+2b, c+2d) = (a+2-4a, 2a-1+8-8a) = (-3a+2, -6a+7)$

(4)

$-3a+2=x$、$-6a+7=y$ とすると

$y=2x+3$ となる