第14章 14.15

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \cdots \quad A^n = \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

$S = \sum_{k=1}^{n} A^k = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \cdots\cdots + \begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1+1+\cdots\cdots+1 & a+2a+3a+\cdots\cdots+na \\ 0 & 1+1+1+\cdots\cdots+1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} n & \dfrac{n(n+1)}{2}a \\ 0 & n \end{pmatrix}$

(3)

$S^{-1} = \frac{1}{n^2}\begin{pmatrix} n & -\dfrac{n(n+1)}{2}a \\ 0 & n \end{pmatrix} = \frac{1}{n}\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{n+1}{2}a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$