高専の数学解説

第14章 14.5

(1)

(kA)(1kA−1)=k1kAA−1=E(kA)\left(\frac{1}{k}A^{-1}\right) = k\frac{1}{k}AA^{-1} = E

これから kA の逆行列が1kA−1\frac{1}{k}A^{-1}となり (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} となる

(2)

高専の数学2 p.174より

(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E

これからABの逆行列がB−1A−1B^{-1}A^{-1}となり (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} となる

(3)

(2)と同様に考えて

(ABC)(C−1B−1A−1)=AB(CC−1)B−1A−1=ABEB−1A−1=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1}) = AB(CC^{-1})B^{-1}A^{-1} = ABEB^{-1}A^{-1} = A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E

これからABCの逆行列がC−1B−1A−1C^{-1}B^{-1}A^{-1}となり (ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} となる

(4)

(2)と同様に考えて

(ABC−1)(CB−1A−1)=AB(C−1C)B−1A−1=ABEB−1A−1=A(BB−1)A−1=AA−1=E(ABC^{-1})(CB^{-1}A^{-1}) = AB(C^{-1}C)B^{-1}A^{-1} = ABEB^{-1}A^{-1} = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = E

これからABC−1^{-1}の逆行列がCB−1A−1CB^{-1}A^{-1}となり (ABC−1)−1=CB−1A−1(ABC^{-1})^{-1} = CB^{-1}A^{-1} となる

解説: r31bn1z