第13章 13.1

(1)

$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(-3)^2+(-4)^2+0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

(2)

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3-3)^2+(-4-2)^2+(0-4)^2} = \sqrt{36+36+16} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$

(3)

$\overrightarrow{AB}\text{の中点} = \frac{(3+(-3),\,2+(-4),\,4+0)}{2} = \frac{(0,-2,4)}{2} = (0,-1,2)$

(4)

xy 平面に対して対称なので z の符号を反対にする

よって $(3,2,-4)$

(5)

$\overrightarrow{AB}\text{を}2:3\text{に内分する点} = \left(\frac{2\cdot(-3)+3\cdot3}{2+3}, \frac{2\cdot(-4)+3\cdot2}{2+3}, \frac{2\cdot0+3\cdot4}{2+3}\right) = \left(\frac{3}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{12}{5}\right)$

(6)

$\overrightarrow{AB}\text{を}3:1\text{に外分する点} = \left(\frac{3\cdot(-3)-1\cdot3}{3-1}, \frac{3\cdot(-4)-1\cdot2}{3-1}, \frac{3\cdot0-1\cdot4}{3-1}\right) = (-6,-7,-2)$

(7)

$\overrightarrow{AB} = (-3-3,-4-2,0-4) = (-6,-6,-4)$

なので

点Aに関してBと対称な点Cは点Aから$(6,6,4)$移動したところ

よって $C = (3+6,\,2+6,\,4+4) = (9,8,8)$

(8)

x 上の点なので求める点Dは $D = (x, 0,0)$ となる

$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{BD}|$

から

$\sqrt{(3-x)^2+(2-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{(-3-x)^2+(-4-0)^2+(0-0)^2}$

$(3-x)^2+4+16 = (3+x)^2+16 \qquad 9-6x+x^2+20 = 9+6x+x^2+16$

$12x=4 \qquad x=\frac{1}{3}$

これから

$\left(\frac{1}{3},0,0\right)\text{となる}$