高専の数学解説

第11章 11.18

(1)

行列で表すと

(a⃗′b⃗′c⃗′)=(2−311−22−216)(a⃗b⃗c⃗)(2−311−22−216)=A として A の逆行列は\begin{pmatrix} \vec{a}' \\ \vec{b}' \\ \vec{c}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 6 \end{pmatrix} = A \text{ として A \text{の逆行列は}}

(2−311001−22010−216001)→(1−220102−31100−216001)→(1−2201001−31−200−310021)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & 10 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right)

→(10−42−3001−31−200013−41)→(10014−19401010−1430013−41)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & -19 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 10 & -14 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right)

(a⃗b⃗c⃗)=(14−19410−1433−41)(a⃗′b⃗′c⃗′)→{a⃗=14a⃗′−19b⃗′+4c⃗′b⃗=10a⃗′−14b⃗′+3c⃗′c⃗=3a⃗′−4b⃗′+c⃗′\begin{pmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -19 & 4 \\ 10 & -14 & 3 \\ 3 & -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{a}' \\ \vec{b}' \\ \vec{c}' \end{pmatrix} \rightarrow \begin{cases} \vec{a} = 14\vec{a}' - 19\vec{b}' + 4\vec{c}' \\ \vec{b} = 10\vec{a}' - 14\vec{b}' + 3\vec{c}' \\ \vec{c} = 3\vec{a}' - 4\vec{b}' + \vec{c}' \end{cases}

(2)

v⃗=a⃗−3b⃗+2c⃗=(14a⃗′−19b⃗′+4c⃗′)−3(10a⃗′−14b⃗′+3c⃗′)+2(3a⃗′−4b⃗′+c⃗′)=−10a⃗′+15b⃗′−3c⃗′\vec{v} = \vec{a} - 3\vec{b} + 2\vec{c} = (14\vec{a}' - 19\vec{b}' + 4\vec{c}') - 3(10\vec{a}' - 14\vec{b}' + 3\vec{c}') + 2(3\vec{a}' - 4\vec{b}' + \vec{c}') = -10\vec{a}' + 15\vec{b}' - 3\vec{c}'

解説: r31bn1z