第10章 10.8

元の体積は $V_{all} = \dfrac{4}{3}\pi r^{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 12^{3} = 8 \cdot 12^{2}\pi = 1152\pi$

角度を $30°$ 傾けると右図のようになる。

このとき容器に残っている水の量は

$x^{2} + (y+6)^{2} = 12^{2}$

という円を考えると

$x^{2} = 12^{2} - (y+6)^{2}$ $x=0$ のとき $y=6$

これを y 軸を中心に回転させると

$V = \pi\int_{0}^{6} \{12^{2} - (y+6)^{2}\}\,dy = \pi\left[12^{2}y - \frac{1}{3}(y+6)^{3}\right]_{0}^{6} = \pi\left(144\cdot 6 - \frac{1}{3}\cdot 12^{3} + \frac{1}{3}\cdot 6^{3}\right)$

$= \pi(6\cdot 144 - 4\cdot 144 + 2\cdot 36) = \pi(2\cdot 144 + 2\cdot 36) = \pi(2\cdot 180) = 360\pi$

これから、流れ出る水の量は

$1152\pi - 360\pi = 792\pi \qquad \text{よって } 792\pi \text{ ml}$