第10章 10.4

(1)

$y = x^3 - 3x + 5 \qquad y' = 3x^2 - 3 \qquad y' = 0 \text{ のとき} \qquad x^2 = 1 \qquad x = \pm 1$

$x = 1$ のとき $y = 1 - 3 + 5 = 3$

$x = -1$ のとき $y = -1 + 3 + 5 = 7$ よって $x = -1$ のとき極大

右図より

$\int_{-1}^{2} 7 - (x^3 - 3x + 5)\, dx = \left[7x - \frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 - 5x\right]_{-1}^{2}$

$= 14 - 4 + 6 - 10 + 7 + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 5 = \frac{27}{4}$

(2)

$y = x^3 - 5x \qquad y' = 3x^2 - 5 \qquad x = 1 \text{ のとき} \qquad y' = -2$

接線：$y + 4 = -2(x - 1)$ $y = -2x - 2$

右図より

$\int_{-2}^{1} (x^3 - 5x) - (-2x - 2)\, dx = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\, dx$

$= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 - 4 + 6 + 4 = \frac{27}{4}$

(3)

$2y = x^2 + a^2 \qquad y = \frac{1}{2}(x^2 + a^2) \qquad y = x$

与式と接線の接点を $(x_0, y_0)$ とおくと接線の方程式は

$y = x_0 x \quad \text{となる}$

接線が $(x_0, y_0)$ を通るので

$y_0 = \frac{1}{2}(x_0^2 + a^2) = x_0^2 \quad \text{となる}$

これから $x_0 = \pm a$ が求められる

$x = \pm a, y = 0$, 与式に囲まれた面積は

$S' = \int_{-a}^{a} \frac{1}{2}(x^2+a^2)\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}x^3+a^2x\right]_{-a}^{a} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}a^3+a^3+\frac{1}{3}a^3+a^3\right) = \frac{4}{3}a^3$

接線と$x=\pm a$ $y=0$ で囲まれた面積は

$S'' = 2\int_0^a ax\,dx = 2\left[\frac{1}{2}ax^2\right]_0^a = a^3$

これらより求める面積$S$は

$S = \frac{4}{3}a^3 - a^3 = \frac{1}{3}a^3$