第9章 9.15

$f_{(x)} = 1$ のとき $\displaystyle\int_{-1}^{1} dx = [x]_{-1}^{1} = 1-(-1) = 2$

$f_{(-1)}=f_{(0)}=f_{(1)}=1$ なので $a+b+c=2$ ①

$f_{(x)} = x$のとき $\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2}[x^2]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}\{1-1\} = 0$ $f_{(-1)}=-1$ $f_{(0)}=0$ $f_{(1)}=1$ なので $-a+c=0$ ②

$f_{(x)} = x^2$のとき $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}[x^3]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}\{1+1\} = \frac{2}{3}$

$f_{(-1)}=1$ $f_{(0)}=0$ $f_{(1)}=1$ なので $a+c=\dfrac{2}{3}$ ③

②+③より

$2c = \frac{2}{3} \qquad c = \frac{1}{3}$

これを②に代入して

$-a+\frac{1}{3}=0 \qquad a=\frac{1}{3}$

$a=\dfrac{1}{3}$、$c=\dfrac{1}{3}$を①に代入して

$\frac{1}{3}+b+\frac{1}{3}=2 \qquad b=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

これから $a=\dfrac{1}{3}$ $b=\dfrac{4}{3}$ $c=\dfrac{1}{3}$

今m任意の２次関数$f_{(x)}$を$f_{(x)} = ix^2+jx+k$ とるすと

左辺 $= \displaystyle\int_{-1}^{1} f_{(x)}\,dx = \int_{-1}^{1} (ix^2+jx+k)\,dx = \left[\frac{1}{3}ix^3+\frac{1}{2}jx^2+kx\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}i+\frac{1}{2}j+k+\frac{1}{3}i-\frac{1}{2}j+k = \frac{2}{3}i+2k$

このとき$f_{(-1)} = i-j+k$ $f_{(0)} = k$ $f_{(1)} = i+j+k$ なので

右辺 $= \displaystyle\int_{-1}^{1} f_{(x)}\,dx = af_{(-1)}+bf_{(0)}+cf_{(1)} = \frac{1}{3}(i-j+k)+\frac{4}{3}k+\frac{1}{3}(i+j+k) = \frac{2}{3}i+2k$

となり、このa, b, cの値で与式が成り立っていることが分かる

$a=\frac{1}{3} \qquad b=\frac{4}{3} \qquad c=\frac{1}{3}$