第8章 8.10

(1)

$\int \tan^3 x \, dx = \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} \, dx = \int \frac{\sin x (1-\cos^2 x)}{\cos^3 x} \, dx = \int \left( \frac{\sin x}{\cos^3 x} - \frac{\sin x}{\cos x} \right) dx$

$\cos x = t$ とおくと $-\sin x \, dx = dt$ これから

$= \int \frac{-1}{t^3} + \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2} + \log|t|$ 元に戻して

$= \frac{1}{2\cos^2 x} + \log|\cos x|$

(2)

$\int \frac{x}{1+\sqrt{x}} \, dx$ $\sqrt{x} = t$ とおくと $x = t^2$ $dx = 2t \, dt$ これから

$= \int \frac{t^2}{1+t} \cdot 2t \, dt = 2\int \frac{t^3}{1+t} \, dt = 2\int \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{1+t} \right) dt$

$= 2\left\{ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + t - \log|1+t| \right\}$ 元に戻して

$= 2\left\{ \frac{1}{3}(\sqrt{x})^3 - \frac{1}{2}(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} - \log(1+\sqrt{x}) \right\}$

$= \frac{2}{3}x\sqrt{x} - x + 2\sqrt{x} - 2\log(1+\sqrt{x})$

(3)

$\int \frac{xe^x}{(1+x)^2} \, dx = \int \left\{ \frac{-1}{(1+x)^2} + \frac{1}{1+x} \right\} e^x \, dx = e^x \frac{1}{1+x} - \int \frac{e^x}{1+x} \, dx + \int \frac{e^x}{1+x} \, dx = \frac{e^x}{1+x}$

(4)

$\int \frac{\sin x - 1}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

前半の積分において $\cos x = t$ とおくと $-\sin x dx = dt$ これから

$= \int \frac{-1}{t^2} dt - \tan x = \frac{1}{t} - \tan x$ 元に戻して

$= \frac{1}{\cos x} - \tan x$