第7章 7.35

(1)

PQ＝Lとすると

$L = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(at)^2+(-t^2+b)^2} = \sqrt{a^2t^2+t^4-2bt^2+b^2} = \sqrt{t^4+(a^2-2b)t^2+b^2}$

Lを小さくするにはルートの中で$a^2-2b$が負の値になれば小さくなる

これから $a^2-2b<0$ $a^2<2b$

(2)

$L' = \frac{1}{2}\cdot\frac{4t^3+2(a^2-2b)t}{\sqrt{t^4+(a^2-2b)t^2+b^2}}$

$L'=0$となるのは $4t^3+2(a^2-2b)t=0$ $t\{2t^2+(a^2-2b)\}=0$

$t=0、\ \pm\frac{\sqrt{-2(a^2-2b)}}{2} = 0、\ \pm\frac{\sqrt{2(2b-a^2)}}{2}$

$t>0$から $t = \frac{\sqrt{2(2b-a^2)}}{2}\text{のみ}$

これをLの式に代入すると

$L = \sqrt{\left\{\frac{\sqrt{2(2b-a^2)}}{2}\right\}^4 + (a^2-2b)\cdot\left\{\frac{\sqrt{2(2b-a^2)}}{2}\right\}^2 + b^2}$

$= \sqrt{\frac{4(2b-a^2)^2}{16} - \frac{2(2b-a^2)(2b-a^2)}{4} + b^2} = \sqrt{\frac{(2b-a^2)^2 - 2(2b-a^2)^2 + 4b^2}{4}}$

$= \frac{1}{2}\sqrt{4b^2-(2b-a^2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^2b-a^4} = \frac{a}{2}\sqrt{4b-a^2}$