第7章 7.30

$y = e^x + 1$

$y' = e^x$

これから接線の方程式は

$y - f(a) = e^a(x - a)$

点Pの座標が$(a, f(a)) = (a, e^a + 1)$だとすると

$y - (e^a + 1) = e^a(x - a)$

$\therefore y = e^a(x - a) + e^a + 1$

この式に$y = 0$を代入すると

$0 = e^a(x - a) + e^a + 1 = x - a + 1 + e^{-a}$

$x = a - 1 - e^{-a} \quad \to \text{点Q\text{の}x\text{座標}}$

これからQRの長さは $QR = a - (a - 1 - e^{-a}) = 1 + e^{-a}$

PRの長さは$y = e^a + 1$であえり、△PQRは直角三角形であるのでこの面積$S$は

$S = \frac{1}{2} \cdot QR \cdot PR = \frac{1}{2}(e^a + 1)(1 + e^{-a}) = \frac{1}{2}(1 + e^a + e^{-a} + 1) = \frac{1}{2}(e^a + e^{-a} + 2)$

$S' = \frac{1}{2}(e^a - e^{-a})$

$S' = 0$となるのは $e^a - e^{-a} = 0$ $e^a = e^{-a}$ $a = -a$ $a = 0$

$x = a = 0$のとき△PQRは最小になる。この時の面積は

$S = \frac{1}{2}(e^0 + e^{-0} + 2) = \frac{1}{2}(1 + 1 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

△PQRの面積は$x = 0$のとき最小値$S = 2$となる