第7章 7.28 | 高専の数学解説

\begin{cases} f_{(x)} = \log x + \log y \\ g_{(x)} = x + 2y - 6 = 0 \ (\text{条件}) \end{cases}

とおくと

f_x = \frac{1}{x} \qquad f_y = \frac{1}{y} \qquad g_x = 1 \qquad g_y = 2

ラグランジュの乗数法を用いると

\begin{cases} \dfrac{1}{x} - \lambda = 0 & ① \\[2mm] \dfrac{1}{y} - 2\lambda = 0 & ② \end{cases} \qquad \begin{cases} 1 - \lambda x = 0 & ①' \\ 1 - 2\lambda y = 0 & ②' \end{cases}

①’から $x = \dfrac{1}{\lambda}$ ②’から $y = \dfrac{1}{2\lambda}$

これらを $g_{(x)}$ に代入して

\frac{1}{\lambda} + 2 \cdot \frac{1}{2\lambda} - 6 = 0 \qquad \therefore \lambda = \frac{1}{3}

これから $\therefore x = 3 \quad y = \dfrac{3}{2}$

これを $f_{(x)}$ に代入して

f_{(x)} = \log 3 + \log \frac{3}{2} = \log 3 + \log 3 - \log 2 = \log 9 - \log 2

よって $x = 3$ 、 $y = \dfrac{3}{2}$ のとき最大値 $\log 9 - \log 2$