第7章 7.16

(1)

$y = x(x+3)(x-5) = x^3 - 2x^2 - 15x$

$y' = 3x^2 - 4x - 15 = (3x+5)(x-3)$

$y'=0$ のとき $x = -\dfrac{5}{3}, 3$

$x=3$ のとき $y = 3 \cdot 6 \cdot (-2) = -36$

$x=-1$ のとき $y = -1 \cdot 2 \cdot (-6) = 12$

$x=5$ のとき $y = 5 \cdot 8 \cdot 0 = 0$

これから $x=3$ のとき最小値 $-36$ $x=-1$ のとき最大値 $12$

(2)

$y = x + \frac{1}{x-1}$

$y' = 1 + \frac{-1}{x-1} = \frac{x-1-1}{x-1} = \frac{x-2}{x-1}$

$y'=0$ のとき $x=2$

$x=2$ のとき $y = 2+1=3$

$x=\dfrac{3}{2}$ のとき $y = \dfrac{3}{2}+2=\dfrac{7}{2}$

$x=4$ のとき $y = 4+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{3}$

これから $x=2$ のとき最小値 $3$ $x=4$ のとき最大値 $\dfrac{13}{3}$

(3)

$y = 4\sin x + \cos 2x$

$y' = 4\cos x - 2\sin 2x$

$y'=0$ のとき $2\cos x = \sin 2x$ $x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi$

$x = \dfrac{\pi}{2}$ のとき $y = 4-1=3$

$x = \dfrac{3}{2}\pi$ のとき $y = -4-1=-5$

$x = 0$ のとき $y = 1$

$x = 2\pi$ のとき $y = 1$

これから $x = \dfrac{3}{2}\pi$ のとき最小値$-5$ $x = \dfrac{\pi}{2}$ のとき最大値$3$

(4)

$y = (1+\cos x)\sin x$

$y' = -\sin x \cdot \sin x + (1+\cos x)\cdot \cos x = -\sin^2 x + \cos x + \cos^2 x$

$y' = 0$ のとき $x = \pm\dfrac{\pi}{3}, \pi, 2\pi$

$x = \dfrac{\pi}{3}$ のとき $y = (1+\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = 0, \pi$ のとき $y = 0$

これから $x = 0, \pi$ のとき最小値$0$ $x = \dfrac{\pi}{3}$ のとき最大値$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$