第7章 7.4

(1)

ある１辺の長さを$x$とおくと対角線の長さ$y$は

$f_{(x)} = y^2 = x^2 + (a-x)^2$

と書ける。これから

$f' = 2x + 2(a-x)(-1) = 2x - 2a + 2x = 4x - 2a$

$f' = 0$ のとき $4x - 2a = 0$ $x = \dfrac{1}{2}a$

これから対角線が最も短いのは１辺が$\dfrac{1}{2}a$の正方形である

(2)

右図から

$S = 2a\cdot\cos\theta\cdot a\cdot\sin\theta\cdot\frac{1}{2} = a^2\cdot\cos\theta\cdot\sin\theta = \frac{1}{2}a^2\cdot\sin2\theta$

$S' = \frac{1}{4}a^2\cdot\cos2\theta$

$S' = 0$ のとき $\dfrac{1}{4}a^2\cdot\cos2\theta = 0$ $\theta = \dfrac{\pi}{4}$

よって面積が最大となるのは直角二等辺三角形のときである