第5章 5.5

(1)

$f = x^3 - 2x - 1$ とおくと $f$ は全区間で連続である

$f(0) = -1 < 0$ $f(2) = 8 - 4 - 1 = 3 > 0$ であるので中間値の定理より

$f(c) = c^3 - 2c - 1 = 0$ となるような $c$ が $(0,2)$ の中に少なくとも１つは存在する

(2)

$f = x^4 - 5x - 2$ とおくと $f$ は全区間で連続である

$f(-1) = 1 + 5 - 2 = 4 > 0$ $f(1) = 1 - 5 - 2 = -6 < 0$ であるので中間値の定理より

$f(c) = c^4 - 5c - 2 = 0$ となるような $c$ が $(-1,1)$ の中に少なくとも１つは存在する

(3)

$f = \sin x - x\cos x$ とおくと $f$ は全区間で連続である

$f(\pi) = 0 - \pi(-1) = \pi > 0$ $f\left(\dfrac{3}{2}\pi\right) = -1 - 0 = -1 < 0$ であるので中間値の定理より

$f(c) = \sin c - c\cos c = 0$ となるような $c$ が $\left(\pi, \dfrac{3}{2}\pi\right)$ の中に少なくとも１つは存在する

(4)

$f = x - 2\sin x - 3$ とおくと $f$ は全区間で連続である

$f(0) = 0 - 0 - 3 = -3 < 0$ $f(\infty) = \infty > 0$ であるので中間値の定理より

$f(c) = x - 2\sin x - 3 = 0$ となるような $c$ が $(0, \infty)$ の中に少なくとも１つは存在する