第2章 2.18

(1)

$n=1$ のとき $a_1=\sqrt{2}<2$ であり、成立する。

$n=k$ のとき $a_n<2$ が成り立つと仮定すると $a_k<2$

$n=k+1$ のとき $a_{k+1}=\sqrt{a_k+2}<\sqrt{2+2}=2$ よって $n=k+1$ でも $a_n<2$ は成立する

$k=1$ においても $a_n<2$ は成立するので全ての自然数について $a_n<2$ が成立する。

(2)

$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$ 両辺を２乗すると $a_{n+1}{}^2=a_n+2$ (1)から $a_n<2$ より

$a_n+2>a_n{}^2$ $a_{n+1}{}^2>a_n{}^2$ $\therefore a_{n+1}>a_n$

(3)

$\lim_{n\to\infty}a_n=C$ とおくと

$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$ $C=\sqrt{C+2}$

$C^2=C+2$ $(C-2)(C+1)=0$ $\therefore C=-1,2$

(2)より $a_{n+1}>a_n$ で $a_1>0$ なので $C>0$ である。 $\therefore C=2$