第1章 1.21

(1)

初項 $a=1$ 、公差 $d=4$ の等差数列なので

$a_n = a + (n-1)d \text{ より}$

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 3$

(2)

$a_{n+1} = 3a_n + 1 = 3\left(a_n + \frac{1}{3}\right)$

初項 $a=1$ 、公比 $r=3$ なので

$a_n = ar^{n-1} + d \text{ とすると}$

$a_n = a \cdot 3^{n-1} + d \qquad ①$

$a_{n+1} = a \cdot 3^n + d \qquad ②$

$a_{n+1} = 3a_n + 1 \text{ より}$

$a \cdot 3^n + d = 3(a \cdot 3^{n-1} + d) + 1$

$-2d = 1 \qquad \therefore d = -\frac{1}{2}$

$d=-\dfrac{1}{2}$ を①に代入すると

$a_n = a \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2}$

$a_1=1$ より

$1 = a \cdot 3^{1-1} - \frac{1}{2} \qquad \therefore a = \frac{3}{2}$

$a=\dfrac{3}{2}$ 、 $d=-\dfrac{1}{2}$ より①は

$a_n = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$

(3)

$a_{n+1} = -\frac{1}{3}(a_n - 1)$

初項$a_1 = -2$、公比$r = -\dfrac{1}{3}$なので

$a_n = ar^{n-1} + d \text{ とすると}$

$a_n = a \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} + d$

$a_1 = -2$より

$-2 = a \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{1-1} + d \qquad a = -d - 2 \qquad ①$

また、与式から

$3a_{n+1} + a_n = 1$

$3\left\{a\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^n + d\right\} + a\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} + d = 1 \qquad \therefore d = \frac{1}{4}$

$d=\dfrac{1}{4}$を①に代入して

$a = -\frac{1}{4} - 2 = -\frac{9}{4}$

これから一般式は

$a_n = -\frac{9}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\cdot\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-3}\right\} = \frac{1}{4}\left\{1-(-3)^{3-n}\right\}$

(4)

$n = 1,2,3,4,\cdots$と計算していくと

$a = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots \text{をとなり}$

$a_n = \frac{1}{n}$