高専の数学解説

第13章 13.16

(1)

sin⁡20°sin⁡40°sin⁡80°=sin⁡20°{−12(cos⁡120°−cos⁡40°)}=−12sin⁡20°{−12−cos⁡40°}\sin20°\sin40°\sin80°=\sin20°\left\{-\frac{1}{2}(\cos120°-\cos40°)\right\}=-\frac{1}{2}\sin20°\left\{-\frac{1}{2}-\cos40°\right\}

=14sin⁡20°+12sin⁡20°cos⁡40°=14sin⁡20°+14{sin⁡60°−sin⁡20°}=14sin⁡60°=38=\frac{1}{4}\sin20°+\frac{1}{2}\sin20°\cos40°=\frac{1}{4}\sin20°+\frac{1}{4}\{\sin60°-\sin20°\}=\frac{1}{4}\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{8}

(2)

cos⁡10°+cos⁡110°+cos⁡130°=2cos⁡60°cos⁡50°+cos⁡130°=cos⁡50°+cos⁡130°=cos⁡50°−cos⁡50°=0\cos10°+\cos110°+\cos130°=2\cos60°\cos50°+\cos130°=\cos50°+\cos130°=\cos50°-\cos50°=0

(3)

sin⁡α+sin⁡(α+23π)+sin⁡(α+43π)=sin⁡α+sin⁡α⋅cos⁡23π+cos⁡α⋅sin⁡23π+sin⁡α⋅cos⁡43π+cos⁡α⋅sin⁡43π\sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac{2}{3}\pi\right)+\sin\left(\alpha+\frac{4}{3}\pi\right)=\sin\alpha+\sin\alpha\cdot\cos\frac{2}{3}\pi+\cos\alpha\cdot\sin\frac{2}{3}\pi+\sin\alpha\cdot\cos\frac{4}{3}\pi+\cos\alpha\cdot\sin\frac{4}{3}\pi

=sin⁡α+2sin⁡α⋅cos⁡23π=sin⁡α−sin⁡α=0=\sin\alpha+2\sin\alpha\cdot\cos\frac{2}{3}\pi=\sin\alpha-\sin\alpha=0

(4)

cos⁡α+cos⁡(α+23π)+cos⁡(α+43π)=cos⁡α+cos⁡α⋅cos⁡23π−sin⁡α⋅sin⁡23π+cos⁡α⋅cos⁡43π−sin⁡α⋅sin⁡43π\cos\alpha+\cos\left(\alpha+\frac{2}{3}\pi\right)+\cos\left(\alpha+\frac{4}{3}\pi\right)=\cos\alpha+\cos\alpha\cdot\cos\frac{2}{3}\pi-\sin\alpha\cdot\sin\frac{2}{3}\pi+\cos\alpha\cdot\cos\frac{4}{3}\pi-\sin\alpha\cdot\sin\frac{4}{3}\pi

=cos⁡α+2cos⁡α⋅cos⁡23π=cos⁡α−cos⁡α=0=\cos\alpha+2\cos\alpha\cdot\cos\frac{2}{3}\pi=\cos\alpha-\cos\alpha=0

解説: r31bn1z