第9章 9.20

$f = 2^x + 4^y$

$g = x + 2y + 1 = 0$ とおくと

$f_x = 2^x\log 2 \qquad f_y = 4^y \log 4 \qquad g_x = 1 \qquad g_y = 2$

ラグランジュの乗数法より

$\begin{cases} 2^x\log 2 - \lambda = 0 \\ 4^y\log 4 - 2\lambda = 0 \end{cases}$ $\quad$ $\begin{cases} 2^x\log 2 = \lambda \\ 4^y\log 4 = 2\lambda \end{cases}$ $\quad$ $2^{x+1}\log 2 = 4^y\log 4$ $\quad$ $2^x = 4^y$ $\quad$ 両辺対数をとって

$x \cdot \log 2 = y \cdot \log 4$ $\quad$ $x = 2y$ $\quad$ $x = 2y$ ①

これを $g$ に代入して

$2y + 2y + 1 = 0 \quad 4y + 1 = 0 \quad y = -\dfrac{1}{4}$

これを①に代入して

$x = -\dfrac{1}{2}$

よって $x = -\dfrac{1}{2}$ , $y = -\dfrac{1}{4}$ のとき最小値 $\sqrt{2}$